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DIGITAL
TIME-FREQUENCY-DOMAIN
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- ELETTRONICA OGGI 452 - MARZO 2016
segnale da una sorgente di rumore, richiedono
un’analisi nel dominio della frequenza. Opera-
re nel dominio del tempo richiede una post-ela-
borazione sul segnale digitale quantizzato, dato
che il campionamento ha luogo nel dominio del
tempo. Per contro, operare nel dominio della fre-
quenza richiede dapprima l’applicazione di una
trasformata relativamente ai dati quantizzati per
convertirli a partire dal dominio del tempo. Ana-
logamente, per produrre i dati post-elaborati dal
dominio della frequenza, è necessario eseguire
la trasformata inversa per il ri-trasferimento nel
dominio del tempo.
Metodi di conversione
In relazione al tipo di segnale – ripetitivo o non ripetitivo,
discreto o non discreto – esistono numerosi metodi per ese-
guire la conversione fra il dominio del tempo e quello della
frequenza, che includono le serie di Fourier, le trasformate
di Fourier e le trasformate Z. Nell’ambito dell’elaborazione
dei segnali elettronici e nelle applicazioni FPGA di partico-
lare interesse è la trasformata discreta di Fourier (DFT), che
fa parte della famiglia delle trasformate di Fourier. I tecni-
ci usano la DFT per analizzare i segnali che sono periodici
e discreti – ovvero che consistono in un certo numero di
campioni a n bit spaziati fra di loro con una frequenza di
campionamento che in molte applicazioni è fornita da un
convertitore A/D all’interno del sistema.
Nella sua forma più semplice, la DFT scompone il segna-
le in ingresso in due segnali di uscita che rappresentano i
componenti seno e coseno di quel segnale. Di conseguenza,
per una sequenza nel dominio del tempo di N campioni, la
DFT restituirà due gruppi di N/2+1campioni di forme d’onda
seno e coseno, che rappresentano rispettivamente le com-
ponenti reali e immaginari (Fig. 1). L’ampiezza dei campioni
corrispondenti alla parte reale e alla parte immaginaria del
segnale sarà anch’essa pari a N/2 per un’ampiezza del se-
gnale di ingresso di N bit. L’algoritmo per calcolare la DFT
è piuttosto immediato, come si può vedere dalla seguente
equazione:
dove x[i] è il segnale nel dominio del tempo, i è compreso
tra 0 e N-1 e k è compreso tra 0 a N/2. L’algoritmo, “metodo
di correlazione”, moltiplica il segnale in ingresso con l’onda
seno o coseno per l’iterazione in corso, allo scopo di de-
terminarne l’ampiezza. Naturalmente, sarebbe utile poter
effettuare la trasformata inversa dal dominio della frequen-
za al dominio del tempo. A questo scopo è possibile usare
l’equazione di sintesi, che combina le componenti reali e
immaginarie della forma d’onda per ricreare un segnale nel
dominio del tempo come segue:
Tuttavia, ReX e ImX sono versioni in scala delle forme d’onda
seno e coseno. Di conseguenza, ImX[k] o ReX[k] viene diviso
per N/2 per determinare i valori di ReX e di ImX in tutti i casi
eccetto che per ReX[0] e ReX[N/2]. In questo caso, essi sono
divisi per N. Questa è chiamata la trasformata di Fourier di-
screta inversa, o IDFT. Una volta esaminati gli algoritmi usa-
ti per determinare la DFT e la IDFT, potrebbe essere come
sfruttarli. Con tool come Octave, MATLAB e persino Excel
è possibile effettuare i calcoli della DFT sui dati acquisiti,
mentre molti strumenti da laboratorio, come gli oscilloscopi,
sono in grado di effettuare la DFT su richiesta. Tuttavia, vale
la pena sottolineare che sia la DFT, sia la IDFT sono reali, nel
senso che l’ingresso è un numero reale e non complesso.
Applicazioni delle trasformate
Dalle telecomunicazioni all’elaborazione delle immagini, ai
radar, ai sonar, è difficile pensare a una tecnica di analisi
più potente e adattabile di una trasformata di Fourier da re-
alizzare all’interno di un FPGA. La DFT costituisce la base
per una delle applicazioni basate su FPGA più comunemente
usate: generare i coefficienti del filtro a risposta d’impulso
finita (FIR). Il suo uso non è comunque limitato al filtraggio.
La DFT e l’IDFT sono usate nell’elaborazione nel campo delle
Fig. 2 – Regioni di Nyquist e distorsioni