In questo articolo mostriamo come eseguire velocemente la conversione di impedenze dal collegamento in parallelo a quello in serie (e viceversa) e inoltre che una rappresentazione grafica di questa trasformazione in funzione della frequenza è molto simile a una carta di Smith. Ciò è utile nella semplificazione sia di circuiti equivalenti di trasformatori che di reti di filtri sino a due dispositivi terminali. La figura 1 mostra le equazioni per la conversione di un circuito in parallelo in un circuito serie (l’Appendice 1 riporta i passaggi per trasformazione).
Uno dei due cerchi mostrati nella figura rappresenta la resistenza in parallelo costante e l’altro, la reattanza costante. La linea a resistenza costante è simmetrica rispetto all’asse x. Quando la reattanza è prossima a un circuito aperto, l’impedenza è uguale alla resistenza in parallelo; al diminuire della reattanza, la curva segue un percorso circolare verso l’origine, assumendo valori positivi con un componente induttivo e negativi con un componente capacitivo. A mano a mano che si riduce l’impedenza reattiva, la curva tende allo zero. Il cerchio ha il centro sull’asse x a una distanza pari alla metà della resistenza in parallelo, con raggio uguale.
Si noti inoltre che la pendenza di una linea tracciata dall’origine a un punto sul cerchio è uguale al Q del circuito per quel punto; quindi, il Q è minimo ai valori più grandi dell’impedenza reattiva in parallelo ed è massimo a un basso valore della reattanza in parallelo. Un altro aspetto interessante di questo cerchio è che può rappresentare l’impedenza di un circuito risonante R-L-C parallelo. Facendo riferimento alla curva corrispondente a R parallelo costante, a bassa frequenza l’impedenza dell’induttore è piccola e si può iniziare dall’origine. All’aumentare della frequenza, l’impedenza è positiva nel primo quadrante finché la reattanza capacitiva non è uguale alla reattanza induttiva alla risonanza (il punto 1 sull’asse X); quindi si passa al secondo quadrante e si continua lungo il cerchio.
- Fig. 2 – Il grafico della resistenza in parallelo costante è un cerchio
Questi concetti possono essere utili quando occorre determinare l’effetto della resistenza in serie equivalente (ESR) di un condensatore e della resistenza CC (DCR) di un induttore sull’impedenza di uscita del filtro di un alimentatore. Questo è illustrato nella figura 3. L’impedenza di uscita è massima alla risonanza, per cui occorre calcolare prima la frequenza di risonanza del filtro. Successivamente si esegue una conversione da serie a parallelo sulle combinazioni induttore-DCR e condensatore-ESR.
Infine, basta combinare i tre resistori che adesso sono in parallelo. Ad esempio, si supponga di avere un condensatore ceramico da 47 uF con una ESR essenzialmente uguale a 0 ohm e un induttore di uscita da 10 ìH con DCR di 50 milliohm. La frequenza di risonanza è pari a 7 kHz; a questa frequenza, l’induttore ha una reattanza di 0,4 ohm e quindi dà un Q uguale a 8 e una resistenza in parallelo di 3 ohm. Un metodo ancora più veloce è quello di utilizzare l’impedenza caratteristica ((L/C)0.5) per la reattanza dell’induttore alla risonanza.
Il prossimo argomento della rubrica riguarderà le strategie di compensazione di un alimentatore isolato.
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Appendice 1. Conversione di un circuito parallelo in un circuito serie
A una certa frequenza, i due circuiti della figura 1 sono equivalenti. Calcolando l’equivalente serie a partire dai componenti in parallelo:
Uguagliando i termini reali e immaginari, dividendo numeratore e denominatore per Xp2 e sostituendo Q = Rp/Xp:
Analogamente, risolvendo in termini di Xs:
