Il metodo si basa sul fatto che l’impedenza di uscita ad anello chiuso di un circuito è uguale al rapporto tra l’impedenza di uscita ad anello aperto e 1 + il guadagno di anello, ossia:
Fig. 1 – Il picco dell’impedenza ad anello chiuso viene raggiunto alla frequenza di crossover dell’anello di controllo
La figura 1 presenta questa relazione graficamente; la scala delle impedenze è in dB-ohm, ossia 20 * log [Z]. La curva relativa all’anello aperto rispecchia il fatto che, a basse frequenze, l’impedenza di uscita dipende dall’induttanza e dalla resistenza dell’induttore di uscita, mentre ad alte frequenze dipende dalle caratteristiche del filtro di uscita, ossia dalla capacità, dalla resistenza in serie equivalente e dall’induttanza in serie equivalente. Il picco viene raggiunto alla frequenza di risonanza dell’induttore e del condensatore di uscita. La curva relativa all’anello chiuso è calcolata secondo la formula riportata sopra.
Poiché i grafici sono logaritmici, basta sottrarre un valore dall’altro. A basse frequenze, in cui il guadagno è elevato, si ha una notevole riduzione dell’impedenza, mentre ad alte frequenze, dove il guadagno è basso, le due impedenze sono praticamente uguali.
Si possono fare due osservazioni significative: 1) il picco dell’impedenza ad anello chiuso viene raggiunto in prossimità della frequenza di crossover dell’alimentatore, ossia quando il guadagno di anello è uguale a 1 (0 dB), e 2) nella maggior parte dei casi, la larghezza di banda di controllo dell’alimentatore è più elevata della frequenza di risonanza del filtro, così che il picco dell’impedenza ad anello chiuso dipende dall’impedenza del condensatore di uscita alla frequenza di crossover.
Una volta nota l’impedenza massima di uscita ad anello chiuso, basta moltiplicarla per l’ampiezza del gradino di carico per valutare la risposta transitoria. Occorre tenere presenti alcuni punti. Anzitutto, il picco effettivo potrebbe essere maggiore a causa di un basso margine di fase; ma ai fini di una rapida valutazione, si può ignorare questo effetto. [1]
In secondo luogo, occorre tenere presente l’aumento del gradino in sé e per sé. Se si tratta di un carico variabile lentamente (bassa dI/dt), la risposta dipende dall’impedenza di uscita ad anello chiuso a una frequenza più bassa, correlata al tempo di salita. Se invece il gradino è molto rapido, l’impedenza di uscita potrebbe dipendere dall’induttanza in serie equivalente del filtro di uscita e, in tal caso, potrebbe essere necessario un ulteriore condensatore di bypass ad alta frequenza.
Infine, per sistemi ad altissime prestazioni, lo stadio di potenza dell’alimentatore potrebbe limitare il tempo di risposta, cioè la corrente nell’induttore potrebbe non variare a velocità sufficiente a seguire l’anello di controllo, poiché lo slew rate della corrente è limitato dall’induttanza e dalla tensione applicata.
Il seguente esempio mostra come si possano utilizzare queste relazioni. Supponiamo che occorra selezionare un condensatore di uscita in base a una variazione tollerabile dell’uscita di 50 mV per un gradino di 10 ampere con un alimentatore a commutazione a 200 kHz. La massima impedenza di uscita tollerabile (massima resistenza in serie equivalente del condensatore di uscita) sarebbe: Zout = 50 mV/10 A ossia 5 milliohm.
Si deve poi determinare la capacità necessaria. Poiché la resistenza in serie equivalente e la capacità sono in quadratura, possono essere calcolate indipendentemente l’una dall’altra. Una notevole larghezza di banda dell’anello di controllo dell’alimentatore potrebbe essere pari a un sesto della frequenza di commutazione, ossia circa 30 kHz.
Il condensatore del filtro di uscita deve presentare quindi una reattanza minore di 5 milliohm a 30 kHz, per cui la sua capacità deve essere maggiore di 1000 uF. La figura 2 mostra una simulazione del transitorio di carico per questo problema, in base a una resistenza in serie equivalente di 5 milliohm, una capacità di 1000 uF e controllo voltage mode con larghezza di banda di 30 kHz. La deviazione della tensione di uscita è pari a circa 52 mV per un gradino di carico di 10 ampere e conferma la validità di questo approccio.
Il prossimo argomento della rubrica sarà l’appianamento delle differenze tra misure e valori calcolati delle perdite di un alimentatore.
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Bibliografia
1) “Easy Calculation Yields Load Transient Response,” J. Betten and R. Kollman, Power Electronics Technology Magazine, Feb. 2005: http://powerelectronics.com/mag/power_easy_calculation_yields/
2) “Modern Electronic Circuit Design,” Comer, David J., Reading, Mass: Addison-Wesley Pub. Co., c1976, Chap. 6.